Les nombres parfaits

12.06.2006

Pythagore

Pour le premier article traitant de mathematiques, je ne vais pas proposer un sujet trop ardu, mais quelque chose de plaisant, enfin pour moi. Je vais parler de la notion des nombres parfaits.

Avant de rentrer dans les details, je voudrais juste rappeler que les nombres ont ete etudies il y a deja tres longtemps, par les toutes premieres civilisations. Mais le premier a veritablement etudier les nombres pour eux-memes fut Pythagore. Je developerai une petite biographie de cet homme, digne d'un roman d'aventures. Avant Pythagore, les nombres etaient surtout etudies pour leur application dans la vie de tous les jours. Il y avait des "recettes", ou algorythmes developpes par les Babyloniens ou les Egyptiens, qui etaient suivis mais personne ne se demandait pourquoi ou comment de telles recettes ou algorythmes avaient ete developees. C'est Pythagore qui a reellement commence a etudier les nombres et les relations entre les nombres, pour eux-memes et non pour leur application.

Au 6eme siecle avant Jesus Christ, avec ses disciples, Pythagore avait forme de veritables petits groupes secrets, la fraternite, qui etaient des groupes d'etudes, d'echanges et de savoir. Mais leur passion pour les nombres avait un objectif religieux, mystique. Ils pensaient qu'en decouvrant les secrets des nombres, ils comprendraient le fonctionnement de l'univers et ainsi se rapprocheraient des Dieux.

Ils avaient definis que les nombres etaient composes de deux sortes - les nombres entiers, ceux avec lesquels on compte et les fractions, qui se trouvent entre les nombres entiers. L'ensemble de ces nombres sont appeles les nombres rationnels. Plus tard Euclide decouvrira la notion de nombre irrationnels, mais pour Pythagore cette notion n'avait aucun sens et il la refuta categoriquement. Ils se concentra sur les nombres rationnels. Et parmi la multitude de nombres rationnels, Pythagore et ses disciples ont essaye de concentrer leur attention a des nombres qui avaient des proprietes particulieres. Une des proprietes les plus remarquables fut celle de la perfection, ce qui donna le nom aux nombres ayant cette propriete, les nombres parfaits.

Qu'est ce qu'un nombre parfait?

Selon Pythagore, la perfection d'un nombre depend des diviseurs de ce nombre. Les diviseurs d'un nombre sont les nombres qui se divisent parfaitement dans le premier, c'est a dire qui donnent un nombre entier en divisant le nombre par son diviseur). Par exemple, les diviseurs du nombre 12, sont les nombres 1, 2, 3, 4 et 6.

Un nombre parfait est quand la somme de ses diviseurs est egale au nombre lui-meme. Par exemple, 6 est un nombre parfait - ses diviseurs sont 1, 2 et 3. Et quand ils sont additionnes, nous retrouvons la valeur 6. Ce nombre est le premier nombre parfait. Il n'y en a pas enormement et plus on cherche plus il faut aller tres loin pour en trouver. Il n'existe par exemple que 3 nombres parfaits dans les mille premiers nombres, 6, 28 et 496. Et aujourd'hui, seulement 40 nombres parfaits ont ete decouverts. Juste pour le plaisir de connaitre les premiers, voici le debut de la liste.

6 - 28 - 496 - 8,128 - 33,550,336 - 8,589,869,056 - ...

Pour les nombres qui ne sont pas parfaits, ils se retrouvent dans 2 autres categories, elles-memes divisees en 2 ou 3 sous-categories. Pour les nombres dont la somme des diviseurs est inferieure au nombre lui-meme, ils sont appeles des nombres deficients (ou defective numbers en anglais), 10 en est un exemple puisque 1+2+5=8 (<10). Les nombres pour lesquels la somme de ses diviseurs est superieure au nombre lui-meme, sont appeles des nombres abondants (ou essive numbers en anglais), 12 en est un exemple puisque 1+2+3+4+6=16.

Et ce n'est pas un hasard si certains nombres de notre culture, representants des actes ressemblant a la perfection, sont des nombres parfaits. La religion chretienne estime que Dieu a cree le monde en 6 jours. Dans un de ses ouvrages, St Augustine pense que Dieu aurait pu creer le monde en un seul jour, mais il aurait voulu le faire en 6 jours afin de refleter la perfection de l'univers. 6 n'est pas un nombre parfait parce que Dieu a decide de choisir ce nombre, la perfection est ineherente a la nature du nombre 6. Meme si Dieu n'avait pas choisi la creation du monde en 6 jours, le nombre serait toujours parfait. C'est interessant de voir un homme religieux qui place la valeur des nombres au dessus de la decision de son Dieu. Un autre exemple de l'utilisation d'un nombre parfait dans la nature, 28. La lune a une rotation d'environ 28 jours autour de la terre. Le cycle menstruel d'une femme est en moyenne de 28 jours egalement. Ce ne sont pas des nombres attribues par l'homme, ce sont des nombres qui sont issus de phenomenes naturels.

Mais Pythagore ne s'est pas contente de comprendre la notion de nombres parfaits, il a aussi voulu connaitre la relation qui les unit, s'il y en avait une. Et il en a trouve plusieurs. Par exemple il a decouvert que les nombres parfaits etaient tous la somme d'une serie continue de nombres entiers.

6 = 1+2+3
28 = 1+2+3+4+5+6+7
496 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+30+31
8,128 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+126+127

Mais il n'etait pas satisfait par cette propriete, il pensait que la perfection etait aussi liee au nombre 2 et a ses puissances, 2ⁿ. Il remarqua que les puissances de 2 n'etaient pas des nombres parfaits, mais presque parfaits. Pour chaque puissance de 2, la somme des diviseurs etaient inferieure de 1 au nombre lui-meme. Les puissances de 2 sont appelees des nombres legerement deficients.

4 - 1+2=3
8 - 1+2+4=7
16 - 1+2+4+8=15
...

Ce n'est que 200 ans plus tard qu'Euclide a decouvert la relation qui permit plus tard de calculer les nombres parfaits. Il a decouvert qu'un nombre parfait est toujours le resultat de la multiplication de deux nombres, un etant une puissance de 2 et l'autre la puissance suivante de 2 moins 1.

6 = 21 x (22-1)
28 = 22 x (23-1)
496 = 24 x (25-1)
8,128 = 26 x (27-1)

La relation formelle est donc la suivante - 2ⁿ x (2ⁿ⁺¹ -1) avec n+1 et (2ⁿ⁺¹ -1) etant des nombres premiers.

Cette formule a permis de pouvoir calculer des nombres parfaits enormes. Aujourd'hui, le plus grand nombre parfait que l'on a pu calculer contient plusieurs millions de chiffres.

Comme je viens d'en parler, les puissances de 2 sont appelees des nombres legerement deficients car la somme des diviseurs est inferieure de 1 au nombre lui-meme. Pythagore s'est donc demande quels nombres seraient des nombres legerement abondants, c'est a dire dont la somme des diviseurs serait superieure de 1 au nombre lui-meme. Et curieuse chose, il n'est jamais arrive a en trouver un seul. Et devinez quoi! Pres de 2,500 ans apres Pythagore, personne n'a pu trouver un de ces nombres et surtout personne n'a pu expliquer pourquoi ces nombres n'existeraient pas. C'est donc un mystere qui est toujours a decouvrir. Si le coeur vous en dit...

Bien entendu, si vous decouvriez une erreur, je ne suis pas parfait... non, non, ... n'hesitez pas a me le faire savoir soit dans un commentaire, soit par email. Merci d'avance.