Le probleme de Monty Hall, la solution

21.06.2006

Apres ces quelques jours d'attente, votre patience va etre recompensee.

Juste pour info, cette situation que je decrivais dans l'article precedent est une situation reelle puisque c'etait le concept d'une emission de jeux americaine des annees 60, appelee "Let's make a deal".

Elle etait presentee par Monty Hall, dont on a attribue le nom au probleme mathematique a l'origine du jeu. Il existe maintenant un jeu sur une chaine americaine qui s'appelle "Deal or no deal?" au cours duquel un candidat doit choisir au depart une valise parmi 30 (je crois). Il sait que chaque valise contient une somme d'argent allant de 1 dollar a 1 million de dollar. La valise choisie est mise de cote au debut du jeu. Ensuite le presentateur lui donne la possibilite de choisir d'autres valises mais pour les ouvrir, sachant que les montants a l'interieur de ces valises ne peuvent etre gagnes. Il y a une liste de montants sur le plateau sur laquelle les montants decouverts dans les valises sont rayes. Le but pour le candidat est bien evidemment de decouvrir les montants les plus bas puisque ce sont ceux qu'il ne desire pas gagner. A chaque tour, il a le choix entre nommer 3 ou 4 valises pour les ouvrir ou une somme d'argent que le presentateur lui offre pour arreter le jeu. Au debut, cette somme d'argent est tres faible forcement et personne ne l'accepte. Au fur et a mesure de l'ouverture des valises et en fonction des sommes revelees, cette offre augmente, avec parfois des sommes tres allechantes, telles que $250,000 (ce qui correspond generalement a des chances d'avoir un million de dollars a la fin du jeu importantes). Tout est dans le calcul des gains possibles a chaque tour.

A la fin du jeu, le candidat soit a decide de prendre l'offre du presentateur, soit a decide de conserver sa valise choisie au depart, soit a decide de changer de valise quand il n'en reste plus que 2, la sienne et une non choisie. Je n'ai pas encore essaye de regarder le jeu pour voir si je pouvais trouver le calcul a faire. Mais ca m'interesse assez. C'est assez semblable, quoi que different, au probleme de Monty Hall.

Donc pour revenir a nos moutons, le probleme de Monty Hall est assez simple mais il provoque de la confusion chez le candidat en raison du nombre de portes, 3. A la fin, il y a une porte choisie, une porte ouverte et une porte non choisie. C'est troublant car le candidat pense que ses chances de gagner sont alors de 50-50, une porte sur deux. Le probleme souvent dans le calcul des probabilites, c'est que l'on ne repond pas a la question posee. En disant que le candidat a une chance sur 2 de trouver le lot, c'est decrire la situation du choix entre 2 portes en oubliant le fait qu'au depart il y avait 3 portes. Au depart, le candidat a 1/3 de trouver la bonne porte, donc ici, 1/3 que A soit la bonne porte. Du coup cela fait 2/3 que B ou C soit la bonne porte. Les probabilites ne changent pas au cours du jeu. Apres que Monty Hall ait ouvert la porte C montrant qu'elle ne cachait rien, le candidat est toujours dans la situation ou il a 1/3 d'avoir la bonne porte au depart, donc 2/3 de ne pas avoir la bonne porte. Il ne lui reste plus que le choix entre A et B, ce qui fait qu'il a interet a changer de porte puisque B a maintenant la probabilite de 2/3 d'etre la bonne porte.

Generalement, quand on est persuade des 50% de chance entre les portes A et B, il est difficile d'etre convaincu par cette explication. C'est pour cela que j'avais donne comme indice dans ma reponse aux commentaires une situation identique qui ne differe que dans le nombre de portes. Imaginez donc 1,000 portes. Le candidat en choisit une, puis Monty Hall fait ouvrir 998 portes qui ne cachent pas le lot. Il reste donc la porte choisie, A et la derniere porte non choisie, mais toujours fermee, B. Dans cette situation il ne vous viendrait pas a l'idee que le candidat a 50% de chance d'avoir la bonne porte au depart car il avait alors 1 chance sur 1,000 de l'avoir trouvee au premier coup. L'esprit humain se dit alors qu'au depart le candidat avait tres peu de chances, voire aucune (en fait non, 1/1000) de choisir la bonne porte. L'esprit humain pense donc automatiquement que la porte B est donc la bonne porte et le candidat choisirait de changer de porte a chaque fois, et il aurait raison. Dans notre cas, il n'y a que 3 portes mais le probleme est le meme, notre cerveau nous pousse a agir differemment car les chances sont plus importantes de choisir la bonne porte au depart, mais la logique est la meme. Dans notre cas, notre instinct nous pousse a mal agir et c'est justement la raison pour laquelle ce jeu existe. Les producteurs comptent sur l'instinct des candidats pour ne pas a avoir a donner trop de lots.

Dans le jeu actuel, c'est le meme processus, les producteurs offrent des sommes d'argent aux candidats pour arreter le jeu en esperant que les candidats soient attires par les montants, qui sont d'autant plus importants que le candidat a de chances de trouver une somme proche ou egale au million de dollars. Tout est dans la perception des gains possibles. La grande difference entre ces 2 jeux est quand meme importante. Avec Monty Hall, vous recevez une information importante, les portes non choisies qui ne cachent pas de lot sont ouvertes. Dans le cas du jeu "Deal or no deal", les valises sont ouvertes une a une par le candidat ne sachant pas ce qu'elles contiennent. A la fin lorsqu'il ne reste plus que 2 valises, les chances de gagner plus en changeant de valise ne sont pas calculees de la meme maniere que dans le cas des portes.

Pour finir, meme si ces jeux ne sont pas necessairement de grands moments de television, il y a un interet a leur accorder et cet interet se situe dans la construction de ces jeux. Avant de mettre en place les plateaux et leurs lumieres avec un presentateur ridicule, il y a gros travail de conception du jeu lui-meme et cette partie est interessante car elle necessite non seulement la connaissance des mathematiques, notamment le calcul des probabilites, mais aussi une grande part de psychologie de la theorie des jeux, notamment ceux qui implique le passage a la television, devant un public. Et ca doit etre tres excitant de faire partie des equipes qui concoivent ces jeux.