Le theoreme du point fixe de Brouwer

Dans cet article je ne vais pas rentrer dans les details car je risque de souler la grande majorite du lectorat. Je vais juste me contenter de proposer un theoreme qui a une particularite que vous pouvez montrer autour de vous. Rien de revolutionnaire mais amusant et surtout c'est interessant de penser aux consequences d'un tel theoreme.


Le theoreme de Brouwer est un des theoremes du point fixe, il vous entraine dans des considerations que vous n'auriez pas imaginees sans lui. Si on faisait un sondage, le resultat serait certainement contraire a ce que ce theoreme nous demontre.


Les theoremes du point fixe sont des outils importants des mathematiques modernes. Ils permettent entre autre de montrer l'existence de solutions aux equations differentielles tout comme l'existence de l'equilibre dans la theorie des jeux. Bien qu'il y ait de nombreuses demonstrations de ce theoreme, je ne vous les propose pas et je rentre directement dans les applications pratiques.


En gros, les theoremes du point fixe disent que dans une fonction f, il existe toujours un point fixe x tel que f(x)=x, avec des conditions definies. Le theoreme de Brouwer etend cette notion en disant que toute fonction continue de n-boule vers n-boule doit avoir un point fixe. Mais il ne donne pas le moyen de calculer ce point. La notion de continuite de la fonction est important. Je ne vais pas plus loin dans l'aspect formel car je sens deja des esprits embrouilles.


L'aspect interessant de ce theoreme se traduit en pratique de la maniere suivante.


Si vous prenez deux feuilles de papier et que vous les superposez, chaque point de la feuille du dessus correspond au meme point de la feuille du dessous. Maintenant, froissez la feuille du dessus et posez la sur la feuille du dessous sans chercher un alignement, posez la juste dessus au hasard. Le theoreme de Brouwer montre qu'a cet instant, il existe au moins un point de la feuille du dessus qui est toujours aligne avec son point correspondant sur la feuille de dessous. Notre instinct nous pousserait a ne pas le croire mais c'est vrai. Autre exemple pour epater la galerie. Prenez une carte geographique de la ville ou vous habitez. Jetez la par terre de maniere aleatoire. Vous pouvez assurez les personnes vous regardant faire qu'il existe au moins un point de la carte reposant exactement sur le point de votre ville qu'il represente. Bien evidemment, pour les petits malins qui essaieraient de jeter une carte de Toulouse dans leur rue de Paris, ca ne fonctionnerait pas.


En fait Luitzen Egbertus Jan Brouwer, un mathematicien hollandais du 20eme siecle, avait remarque que lorsqu'il remuait son cafe, le point au milieu du tourbillon produit par la rotation de la cuillere dans la tasse, ne changeait pas de place et restait immobile. Il a donc imagine qu'a tout moment, le liquide est en mouvement mais il y a un point qui ne bouge pas. Tout est parti de la contemplation de sa tasse de cafe, comme quoi, on peut faire des mathematiques a partir de rien ou de tout. Et c'est la que la discipline prend tout son interet.


On peut etendre la notion de point fixe en 3 dimensions egalement et visualiser le processus en prenant votre tasse de cafe, en le versant dans un autre recipient puis en le reversant a nouveau dans la tasse originale. Et bien vous pouvez etre sur que dans le liquide, il y aura au moins un point qui sera a la meme position qu'au depart dans la tasse.


Alors vous allez me dire, ben il suffit de bouger la feuille de papier ou de l'etirer afin de changer de place le point qui restait en correspondance avec sa place initiale. Soit. Mais si vous changez la position de la feuille ou du liquide, vous ne faites que changer de point fixe. Il y aura toujours un point fixe, sans doute pas le meme, c'est meme presque sur, mais il y en aura au moins un.


En fait, ce theoreme est a rapprocher du lemme de Sperner (Emanuel Sperner, mathematicien allemand du 20eme siecle).


Dessinez un triangle que vous divisez en sous triangles comme sur le graphique ci-dessus. Ensuite nommez les sommets du grand triangle, 1, 2 et 3, peu importe l'ordre. Sur le cote marque par les sommets 1 et 2, nomme les sommets des sous triangles, 1 ou 2, peu importe le choix. Faire de meme avec les autres cotes, en nommant les sommets des sous-triangles 2 ou 3 sur le cote 2-3 et en les nommant 1 ou 3 sur le cote 1-3. A l'interieur du triangle, nomme le reste des sommets 1, 2 ou 3 selon votre choix, peu importe lequel. Une fois cette operation terminee, vous trouverez dans ce triangle au moins un sous-triangle dont les sommets sont 1, 2 et 3. Si vous en trouvez plusieurs, ce sera un nombre impair. Le graphique ci-dessus vous donne un exemple et j'imagine que vous pourrez prendre quelques paris avec des amis... vous allez vous faire un peu d'argent facilement. Comme quoi, les maths peuvent avoir un interet.